이번에는 노름(norm)에 대해서 알아보자. 아래 내용은 유투버 쑤튜브님의 선형대수학 강의를 정리한 것이다.
노름이란?
노름은 벡터의 길이 혹은 크기를 의미한다. (Magnitude라고도 한다.)
노름은 벡터 \(v = (v_1,v_2)\)에 대해 \(\lVert v \rVert\)라고 표기한다.
2차원 벡터의 노름은 피타고라스의 정리에 의해 다음이 성립한다.
\[\lVert v \rVert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]
이를 일반화하면 다음과 같다.
\[v = (v_1,v_2,...,v_n),\, \lVert v \rVert = \{\sum^n_{k=1}V^2_k\}^{\frac{1}{2}}\]
노름의 성질
- 노름은 길이이기 때문에 0보다 크거나 같다.
\[\lVert v \rVert \geq 0\]
- 노름이 0이라면, 0벡터다.
\[\lVert v \rVert = 0 \Leftrightarrow v = \vec{0}\]
- 노름의 스칼라배는 스칼라의 절댓값 만큼 곱해주면 된다. 길이 자체는 양수이기 때문이다.
\[\lVert kv \rVert = \left\vert k \right\vert \lVert v \rVert\]
단위 벡터 - Unit Vector
길이가 1인 벡터를 의미한다.
이를 구하기 위해서는 벡터의 길이로 나눠주면된다.
즉, \(v\)가 어떤 vector일 때, 유닛 벡터 \(\vec{u}\)는 다음과 같다.
\[\vec{u} = \frac{1}{\lVert v \rVert}v\]
예를 들어 (1,0),(0,1),(1,0,0),(0,1,0)…등이 유닛 벡터인데,
이런 유닛 벡터를 두고 standard unit vector이라고 하고, \(e_1, e_2, ...\)으로 표기한다.
벡터의 거리
\(v_1 = (x_1,y_1), v_2 = (x_2,y_2)\)두 벡터가 있다고 하자.
상식적으로, 이 두 벡터의 거리는 피타고라스의 정리에 의해 다음과 같다.
\[\sqrt{(x_2-x_1)^2 + {y_2-y_1}^2}\]
이를 노름으로 표현하면, 다음과 같다.
\[\lVert v_2 - v_1 \rVert\]
사실, 이는 2차원에서의 거리를 나타내는 \(L_2\)노름에 해당한다.